背景調查

• 程式 Programming ?
• 型別 Types ?
• 遞迴 Recursion ?
• 集合 Set ?
• 邏輯 Logic ?

郗昀彥

• 程式計算與建構
• 設計型別系統
• 設計程式語言

我們發展..
保證程式 正確性 之技術

• 程式
• 邏輯
• 能(在)做什麼

Q: 這個 function 是做什麼的?

-- haskell
func1 :: Int -> Int
func1 n = n +1

// java
int func1(int i){ return (i+1); }

• 拿一個自然數回傳該數加一
• func1 :: Int → Int
  • type information

假設 Int 是由 0 開始的所有自然數

-- haskell
func2 :: (Int, Int) -> Int
func2 (m, 0) = 0
func2 (m, n) = (func2 (m, n-1)) + m

// java
int func2(int m, int n){
    if(n == 0){ return 0; }
    else{ return func2(m, n-1) + m; }
}

• (Int, Int) → Int
• Int → Int → Int

假設 input 不能是空的 list

-- haskell
func3 :: [Int] -> Int
func3 [x] = x
func3 (head : tail) = let m = func3 tail in
    if (head >= m) then head else m

// java
Integer func3(ArrayList<Integer> list){
    T head = list.get(0);
    if(list.size() == 1){
        return head;
    }else{
        T m = func3(list.remove(0));
        if(head >= m){ return head; }
        else{ return m; }
    }
}

• List<Int> → Int

型別資訊 (type information)

• 型別 告訴我們？
  • 輸入和輸出的 資料種類
• 型別 可以用來？
  • 確保語法被 正確地使用
    • ✓ isEven( 11 );
    • × isEven( false );
• 所以，型別重要嗎？

Logic

牛刀小試

p = 我今天跳祈雨舞; q = 明天會下雨

• Q1: p ∧ q ?
• Q2: p → q ?

First-Order Logic

假設： p 裡面有用到 x

範例

• 「有某一學生的身高大於 180 公分」...?
  • ∃ s 是學生 . s 的身高 > 180
• 「所有奇異果都是綠色的」...?
  • ∀ k 是奇異果 . k 是綠色的

更形式化 (符號化) 一點..

S 表示 所有奇異果的集合 ； p_x 表示 x 是係金ㄟ

• 「有某顆奇異果不是係金ㄟ」...?
  • ∃ x ∈ S. ¬ p_x
• 「所有的奇異果要嘛就是係金ㄟ，不然就不是」...?
  • ∀ x ∈ S. p_x ∨¬ p_x

請問 下述邏輯句子的意思?

ℕ 是所有自然數的集合(包含零)

• ∀ m, n ∈ℕ . ∃ i ∈ℕ . m × n = 0 ∨ m × n = i + m
• ∀ 非空自然數集合 S . ∃ m ∈ S . ∀ x ∈ S . m ≥ x

問題：我們如何 檢驗 某個「邏輯句子」是否為 真 ?

真值表

某個「邏輯句子」為真，如果「句子」中每個部分都為真

真的是這樣嗎?

這顆奇異果係金ㄟ

• 但是，我們怎麼知道?

• 相信自己.. 嗎?
• 直構主義
  • 不再信任自己對於世界的認知 (眼見不為憑)
  • 提供形式化的證據來證明

也就是說..

我們所謂的 True 從

• 真實 、 存在 、 真理 ...

轉變為

• 有證明 可以證實

• 前者稱為 古典 邏輯 (classical)
• 後者稱為 直構 邏輯 (intuitionistic)

古典 vs 直構

⊥

• true: 真; false: 假
• ⊥: 不存在的東西/某種未定之物
• 爆炸原理: ⊥ → anything

範例 ¬ p

• [古典] p = false
• [直構] p → ⊥

範例 ¬ ¬ p 和 p

• [古典] ¬ ¬ p = p
• [直構] (p → ⊥) → ⊥

請證明

∀m, n ∈ ℕ . ∃i ∈ ℕ . m × n = 0 ∨ m × n = i + m

• 若 n = 0, 顯然 m × 0 = 0
• 假設 n = k + 1
  • 根據 MI, 已知 n = k 時存在一個 j 使得 m × k = 0 ∨ m × k = j + m
    • [case 1]: m × (k + 1) = (m × k) + m = 0 + m
    • [case 2]: m × (k + 1) = (m × k) + m = (j + m) + m

請證明

∀ 非空自然數集合 S . ∃m ∈ S . ∀x ∈ S . m ≥ x

• 若 S ≡ {x}, 顯然 x ≥ x
• 假設 S ≡ {x} ∪ T
  • 根據歸納法, 已知存在一個 m ∈ T 且 ∀ t ∈ T . m ≥ t
    • 若 x ≥ m 則 ∀ x_i ∈ {x} ∪ T . x ≥ x_i
    • 若 x < m 則 ∀ x_i ∈ {x} ∪ T . m ≥ x_i

回到程式..

• 自然數乘法的程式
  • m × n 要嘛是 0 不然就是 m + 某個自然數
  • ∀m, n ∈ ℕ . ∃i ∈ ℕ . m × n = 0 ∨ m × n = i + m
• 從一堆資料中找最大值的程式
  • 最大值 m 必定大於等於其他所有數值
  • ∀ 非空自然數集合 S . ∃m ∈ S . ∀x ∈ S . m ≥ x
• 用「邏輯句子」描述我們想要做的事情的「性質」

∀m, n ∈ ℕ . ∃i ∈ ℕ . m × n = 0 ∨ m × n = i + m

• 若 n = 0, 顯然 m × 0 = 0
• 假設 n = k + 1
  • 已知存在 j 使得 m × k = 0 ∨ m × k = j + m
    • [case 1]: m × (k + 1) = (m × k) + m = 0 + m
    • [case 2]: m × (k + 1) = (m × k) + m = (j + m) + m

// java
int func2(int m, int n){
    if(n == 0){ return 0; }
    else{ return times(m, n-1) + m; }
}

∀ 非空自然數集合 S . ∃m ∈ S . ∀x ∈ S . m ≥ x

• 若 S ≡ {x}, 顯然 x ≥ x
• 假設 S ≡ {x} ∪ T
  • 根據歸納法, 已知存在一個 m ∈ T 且 ∀ t ∈ T . m ≥ t
    • 若 x ≥ m 則 ∀ x_i ∈ {x} ∪ T . x ≥ x_i
    • 若 x < m 則 ∀ x_i ∈ {x} ∪ T . m ≥ x_i

// java
Integer func3(ArrayList<Integer> list){
    T head = list.get(0);
    if(list.size() == 1){ return head; }
    else{
        T m = func3(list.remove(0));
        if(head >= m){ return head; }
        else{ return m; }
    }
}

Curry-Howard 對應

• 「邏輯系統」 ⇔ 「型別系統」
• 「邏輯句子/性質」 ⇔ 「型別資訊」
• 「證明」 ⇔ 「程式」

邏輯系統百百種

• 一階直構邏輯 ⇔ 簡單型別系統 (Martin-Löf type theory)
  • 描述 簡單資料 性質
• 二階直構邏輯 ⇔ 多型型別 (System-F)
  • 描述 抽象資料 與 計算 相關的性質
• 古典線性邏輯 ⇔ 會議型別 (session types)
  • 描述 不同程序 之間如何 傳遞訊息
• 直構線性邏輯 ⇔ 線性型別 (linear types)
  • 描述系統 資源 被 使用的次數

1. 有「程式」 也 有「型別(性質)」
   • 檢查 這個「程式」能否作為該性質的「證明」
   • 產生 一個更好(執行更快)的「證明」
2. 有「型別(性質)」 但是 沒有「程式」
   • 自動化地 產生 「證明」
   • 利用我們對數學的理解去讓這個「證明」
     更容易被想出來

寫 程式 就是寫 證明 ！

• [有獎徵答] ⊥ 的意義? ⊥ 在程式上的意義?