保證程式 正確性 之技術

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• 正確性
• 在(能)做什麼

• 邏輯
• 集合論
• 遞迴函數

(不知道也沒關係！)

haskell - data

1         :: Int
True      :: Bool
False     :: Bool
(7, True) :: (Int, Bool)

haskell - function

-- f(x)=x+1
f :: Int -> Int
f x = x + 1

plus1 :: Int -> Int -> Int
plus1 x y = x + y

plus2 :: (Int, Int) -> Int
plus2 (x, y) = x + y  

haskell - function cont.

plus3 :: Int -> Int -> Int
plus3 0 y = y
plus3 x y = 1 + (plus3 (x - 1) y)

haskell - local variable

plus4 :: Int -> Int -> Int
plus4 0 y = y
plus4 x y =
    let temp = plus4 (x - 1) y
    in 1 + temp

(假設 Int ≡ℕ)

func1 :: Int -> (Int, Bool)
func1 0 = (0, True)
func1 n = let (m, isEven) = func1 (n-1) in
    if isEven
    then (m    , False)
    else (m + 1, True)

• func1 0 ⇒ (0, True)
• func1 1 ⇒ (0, False)
• func1 2 ⇒ (1, True)
• func1 3 ⇒ (1, False)
• func1 4 ⇒ (2, True)

練習

p = 我今天跳祈雨舞; q = 明天會下雨

• Q1: p ∧ q ?
• Q2: p → q ?

一階邏輯

假設： p 裡面有用到 x

練習

S 表示 所有奇異果的集合 ； p_x 表示 x 是係金ㄟ

• 「有某顆奇異果不是係金ㄟ」...?
  • ∃ x ∈ S. ¬ p_x
• 「所有的奇異果要嘛就是係金ㄟ，不然就不是」...?
  • ∀ x ∈ S. p_x ∨¬ p_x

請問 下述邏輯句子的意思?

ℕ 是所有自然數的集合(包含零)

∀ n ∈ℕ . ∃ m ∈ℕ such that
n = 2 × m ∨ n = 2 × m + 1

某個「邏輯句子」是否為 真 ?

真值表

某個「邏輯句子」為真
如果「句子」中每個部分都為真

真的是這樣嗎?

這顆奇異果係金ㄟ

• how?!

切開來！

• 不再信任自己的主觀經驗
  • 提供 正式的證據 來證明
  • 一套制度化形式化的驗證過程
  • 每個人都可以得到一樣的結論

也就是說..

我們對事物觀察的焦點從

• 是否為 真實 、 存在 、 真理 ...

轉變為

• 是否有 形式化的證明 可以證實其為真

• 前者稱為 古典 邏輯 (classical)
• 後者稱為 直構 邏輯 (intuitionistic)

古典 vs 直構

¬ p

• [古典] p = false
• [直構] p → ⊥
• ⊥: 不存在的東西/某種未定之物
  • 爆炸原理: ⊥ → anything

古典 vs 直構

¬ ¬ p 和 p

• [古典] ¬ ¬ p = p
• [直構] (p → ⊥) → ⊥

證明

∀ n ∈ℕ . ∃ m ∈ℕ such that
n = 2 × m ∨ n = 2 × m + 1

• 若 n = 0, 顯然存在偶數 m = 0 使得 0 = 2 × 0
• 假設 n = t + 1
  • 根據 MI, 已知 n = t 時存在一個 m 使得 t = m × 2 ∨ t = m × 2 + 1
    • [case 1]: n = (m × 2)+1
    • [case 2]: n = (m × 2 + 1)+1 = (m + 1)×2

「邏輯」

• 用以描述「性質」、「現象」、「觀察」、「問題」
• 例：m × n 要嘛是 0 不然就是 m + 某個自然數
  • ∀m, n ∈ ℕ . ∃i ∈ ℕ . m × n = 0 ∨ m × n = i + m
• 證明其為 真

「程式」

• 一連串的計算
• 最終會得到 一個特定問題 的答案

Curry-Howard 對應

• 「邏輯系統」 ⇔ 「型別系統」
• 「邏輯陳述」 ⇔ 「型別資訊」
• 「形式證明」 ⇔ 「電腦程式」

形式邏輯系統百百種

1. 有「程式/證明」 也 有「型別/性質」
   • 檢查 這個「程式」能否作為該性質的「證明」
   • 產生 一個更好(執行更快)的「程式/證明」
2. 有「型別/性質」 但是 沒有「程式/證明」
   • 自動化地 產生 「證明/程式」
   • 利用數學理論去讓「程式/證明」更容易被想/寫出來

• ⊥ 的意義?
• ⊥ 在程式上的意義?